Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верхнего угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя, заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рассмотрения один поставщик или потребитель. Осуществляется это таким образом:
1) если a i < b j то х ij = а i , и исключается поставщик с номером i ,
x im = 0, m = 1, 2, ..., n , m ≠j, b j ’=b j - a i
2) если a i > b j то х ij = b j , и исключается потребитель с номером j , x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= a i - b j ,
3) если a i = b j то х ij = a i = b j , исключается либо поставщик i , x im = 0, m= 1,2, ..., n, m≠j, b j ’=0 , либо j -й потребитель, x m j = 0, m= 1,2, ..., k, m≠i, a i ‘= 0 .
Нулевые перевозки принято заносить в таблицу только тогда, когда они попадают в клетку (i, j) , подлежащую заполнению. Если в очередную клетку таблицы (i, j) требуется поставить перевозку, а i -й поставщик или j -й потребитель имеет нулевые запасы или запросы, то в клетку ставится перевозка, равная нулю (базисный нуль), и после этого, как обычно, исключается из рассмотрения соответствующий поставщик или потребитель. Таким образом, в таблицу заносят только базисные нули, остальные клетки с нулевыми перевозками остаются пустыми.
Во избежание ошибок после построения начального опорного решения необходимо проверить, что число занятых клеток равно k+ n- 1 и векторы-условия, соответствующие этим клеткам линейно независимы.
□ Теорема. Решение транспортной задачи, построенное методом северо-западного угла, является опорным.
Доказательство . Число занятых опорным решением клеток таблицы должно быть равно N = k+ n-1 . На каждом шаге построения решения по методу северо-западного угла заполняется одна клетка и исключается из рассмотрения одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель) таблицы задачи. Через k+ n– 2 шага в таблице будет занято k+ n– 2 клетки. В то же время останутся невычеркнуты-ми одна строка и один столбец, при этом незанятая клетка одна. При заполнении этой последней клетки число занятых клеток составит
k + n - 2 +1 = k + n– 1.
Проверим, что векторы, соответствующие занятым опорным решением клеткам, линейно независимы. Применим метод вычеркивания. Все занятые клетки можно вычеркнуть, если проделать это в порядке их заполнения. ■
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учитывает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное данным методом, может быть далеко от оптимального.
Пример . Составить начальное опорное решение, используя метод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные данные которой представлены в следующей таблице
|
a i b j |
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
250 |
4 |
5 |
8 |
3 |
|
200 |
2 |
3 |
6 |
7 |
Решение. Распределяем запасы 1 -го поставщика. Так как его запасы a 1 = 100 меньше запросов 1 -го потребителя b 1 = 150 , то в клетку (1, 1) записываем перевозку х 11 = 100 и исключаем из рассмотрения 1 -го поставщика. Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы 1-го потребителя b’ = b 1 - а 1 = 150 - 100 = 50 .
Распределяем запасы 2 -го поставщика. Так как его запасы а 2 = 250 больше оставшихся неудовлетворенными запросов 1 -го потребителя b 1 ’= 50 , то в клетку (2, 1) записываем перевозку х 21 = 50 и исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя. Определяем оставшиеся запасы 2 -го поставщика а 2 = а 2 - b 1 ’ = 250 -50=200. Т.к. а 2 ‘= b 2 =200, то в клетку (2, 2) записываем х 22 = 200 и исключаем по своему усмотрению либо 2 -го поставщика, либо 2 -го потребителя. Пусть исключили 2- го поставщика. Вычисляем оставшиеся неудовлетворенными запросы 2 -го потребителя b 2 "= b 2 - а 2 " = 200 - 200 = 0 .
Распределяем запасы 3 -го поставщика. Так как а 3 > b 2 (200 > 0), то в клетку (3, 2) записываем х 32 = 0 и исключаем 2 -го потребителя. Запасы 3-го поставщика не изменились a 3 ’=a 3 -b 2 ’=200 - 0 = 200 . Сравниваем а 3 " и b 3 (200 > 100), в клетку (3, 3) записываем х 33 = 100 , исключаем 3 -го потребителя и вычисляем а 3 " = а 3 "-b 3 = 200 - 100 = 100 . Так как a 3 "" = b 4 , то в клетку (3, 4) записываем х 34 = 100 . Ввиду того, что задача с правильным балансом, запасы всех поставщиков исчерпаны и запросы всех потребителей удовлетворены полностью и одновременно.
Результаты построения опорного решения приведены в таблице:
|
|
150 |
200 |
100 |
100 |
|
100 |
100 |
|
|
|
|
250 |
50 |
200 |
|
|
|
200 |
|
0 |
100 |
100 |
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток должно быть равно N = k +n - 1 = 3 + 4- 1=6 . В нашей таблице занято шесть клеток. Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является «вычеркиваемым»:
Следовательно, векторы-условия, соответствующие занятым клеткам, линейно независимы и построенное решение является опорным.
Метод минимальной стоимости
Метод минимальной стоимости прост, он позволяет построить опорное решение, достаточно близкое к оптимальному, так как использует матрицу стоимостей транспортной задачи C={c ij }, i=1,2, ..., k, j=1,2, ..., n . Как и метод северо-западного угла, он состоит из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости min {с ij} } , и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик) или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую min {с ij }, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы использованы полностью. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один поставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик, еще не исключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда oт данного поставщика требуется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится базисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения. Аналогично с потребителем.□ Теорема . Решение транспортной задачи, построенное методом минимальной стоимости, является опорным. ■
Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Пример . Используя метод минимальной стоимости, построить начальное опорное решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице:
|
|
4 0 |
6 0 |
8 0 |
6 0 |
|
60 |
1 |
3 |
4 |
2 |
|
80 |
4 |
5 |
8 |
3 |
|
100 |
2 |
3 |
6 |
7 |
Решение . Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее было выбирать минимальные стоимости, вычеркивать строки и столбцы:
Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость с 11 = 1 , отмечаем ее кружочком. Это стоимость перевозки груза от 1 -го поставщика 1 -му потребителю. В соответствующую клетку (1, 1) записываем максимально возможный объем перевозки х 11 = min {a, A,} = min {60, 40} =40 .
Таблица 6.6
|
|
40 |
60 |
80 |
60 |
|
60 |
40 |
|
|
20 |
|
80 |
|
|
40 |
40 |
|
100 |
|
60 |
40 |
|
Запасы 1 -го поставщика уменьшаем на 40 , т.е. a 1 ’= a 1 -b 1 = 60 - 40.= = 20 . Исключаем из рассмотрения 1 -го потребителя, так как его запросы удовлетворены. В матрице, С вычеркиваем 1 -й столбец.
В оставшейся части матрицы С минимальной является стоимость с 14 = 2 . Максимально возможная перевозка, которую можно осуществить от 1 -го поставщика к 4 -му потребителю, равна x 14 =min{a 1 ’,b 4 }= min{20,60} = 20 . В соответствующую клетку таблицы записываем перевозку х 14 =20 - Запасы 1 -гo поставщика исчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычёркиваем первую строку. Запросы 4 -го потребителя уменьшаем на 20 , т.е. b 4 " = b 4 - a 1 "=60-20= 40.
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость с 24 =с 32 =3 . Заполняем одну из двух клеток таблицы (2, 4) или (3, 2) . Пусть в клетку (2, 4) записываем х 24 = min{а 2 , b 4 } = min {80, 40} = 40 . Запросы 4 -го потребителя удовлетворены, исключаем его из рассмотрения» вычеркиваем четвертый столбец в матрице С. Уменьшаем запасы 2 -го поставщика а 2 ’ = а 2 - b 4 = 80 - 40 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min{с ij } = с 32 = 3 . Записываем в клетку таблицы (3,2) перевозку х 32 =min {а 3 b 2 } = min {100, 60} = 60 . Исключаем из рассмотрения 2 -го потребителя, а из матрицы С второй столбец. Вычисляем а 3 ’= а3-b 2 = 100 - 60 = 40 .
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость min {с ij }= с 33 = 6 . Записываем в клетку таблицы (3,3) перевозку x 33 = min {а 3 ",b 3 } = min {40, 80} = 40 . Исключаем из рассмотрения 3 -го поставщика, а из матрицы С третью строку. Определяем b 3 " = b 3 - а 3 " = 80 - 40 = 40 . В матрице С остается единственный элемент с 23 = 8 . Записываем в клетку таблицы (2, 3) перевозку х 23 = 40 .
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых клеток таблицы равно N = k+ n- 1=3+4-1=6 . Методом вычеркивания проверяем линейную независимость векторов-условий, соответствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания показан на матрице X :
Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.
Переход от одного опорного решения к другому
В транспортной задаче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с помощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл, содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу перераспределяются объемы перевозок. Перевозка загружается в выбранную свободную клетку и освобождается одна из занятых клеток, получается новое опорное решение.□ Теорема (о существовании и единственности цикла). Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл, содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.
Доказательство . Опорное решение занимает N = k + n- 1 клеток таблицы, которым соответствуют линейно независимые векторы-условия. Согласно доказанной выше теореме ни одна часть занятых клеток не образует цикл. Если же к занятым клеткам присоединить одну свободную, то соответствующие им k+ n векторов линейно зависимы, и по той же теореме существует цикл, содержащий эту клетку. Предположим, что таких циклов два (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), и (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1), -Тогда, объединив клетки обоих циклов без свободной клетки (i 1 ,j 1), получим последовательность клеток (i 1 ,j 1), (i 1 ,j 2), (i 2 ,j 2),…, (i k ,j 1), (i 1 ,j 1), (i 2 ,j 1), (i 2 ,j 2),…, (i l ,j 1) которые образуют цикл. Это противоречит линейной независимости векторов-условий, образующих базис опорного решения. Следовательно, такой цикл единственный.
Означенный цикл.
Цикл называется означенным, если его угловые клетки пронумерованы по порядку и нечетным клеткам приписан знак «+», а четным - знак «-».
Сдвигом по циклу на величину θ называется увеличение объемов перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+», на θ и уменьшение объемов перевозок во всех четных клетках, отмеченных знаком «-», на θ .
□ Теорема . Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то при сдвиге по любому циклу, содержащему одну свободную клетку, на величину получится опорное решение.
Доказательство . В таблице транспортной задачи, содержащей опорное решение, выберем свободную клетку и отметим ее знаком «+». По теореме 6.6 для этой клетки существует единственный цикл, который содержит часть клеток, занятых опорным решением. Пронумеруем клетки цикла, начиная с клетки, отмеченной знаком - «+». Найдем осуществим сдвиг по циклу на эту величину
В каждой строке и в каждом столбце таблицы, входящих в цикл, две и только две клетки, одна из которых отмечена знаком «+», а другая - знаком «-». Поэтому в одной клетке объем перевозки увеличивается на θ , а в другой уменьшается на θ , при этом сумма всех перевозок в строке (или столбце) таблицы остается неизменной. Следовательно, после сдвига по циклу по-прежнему и запасы всех поставщиков вывозятся полностью, и запросы всех потребителей удовлетворяются полностью. Так как сдвиг по циклу осуществляется на величину все объемы перевозок будут неотрицательными. Следовательно, новое решение является допустимым.
Если оставить свободной одну из клеток с нулевым объемом перевозки, соответствующих , то число занятых клеток будет равно N=k+n-1 . Одна клетка загружается (отмеченная знаком «+»), одна - освобождается. Так как цикл единственный, то удаление из него одной клетки разрывает его. Цикл из оставшихся занятых клеток образовать нельзя, соответствующие векторы-условия линейно независимы, а решение является опорным.
Метод неопределенных коэффициентов
Найдем разложение на простейшие дроби для .
Общий вид разложения в этом случае
.
Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, имеем
x 2 -1=A(x 2 +1) 2 +(Bx+C)x+(Dx+E)(x 2 +1)x
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
поэтому искомое разложение имеет вид:
.
Пусть знаменатель Q(x) правильной рациональной дроби имеет вещественное число а корнем кратности a. Тогда среди простейших дробей, на сумму которых раскладывается дробь , есть дробь . Коэффициент 
, где 
.
Правило:
для вычисления коэффициента А при простейшей дроби , соответствующей вещественному корню а многочлена Q(x) кратности a, следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку 
и в оставшемся выражении положить х=а. Отметим, что этот прием применим лишь для вычисления коэффициентов при старших степенях простейших дробей, соответствующих вещественным корням Q(x).
Метод вычеркивания особенно эффективен в случае, когда знаменатель Q(x) имеет лишь однократные вещественные корни, т.е. когда
Q(x)=(x-a 1)(x-a 2)×... ×(x-a n). Тогда справедливо представление
,
все коэффициенты которого могут быть вычислены по методу вычеркивания. Для вычисления коэффициента А к следует вычеркнуть в знаменателе дроби скобку (х-а к) и в оставшемся выражении положить х=а к.
Найти разложение дроби 
Мнемотехника для английского языка - настоящее спасение для тех, кому изучение иностранных слов дается с трудом.
Методики направлены на взаимосвязь слова с образом. Чтобы создать ее, используются прямые и косвенные ассоциации. Например, слово «night» можно выучить так: «ночь» начинается на букву «Н» - буква «Н» темно-синего цвета с вкраплениями звезд. После принятия мозгом ассоциации, любое упоминание слова «night» вызовет в голове заученную картинку.
Приемы мнемотехники для изучения английского языка
Мы уже давали несколько приемов мнемотехники по Рамону Компайо в этой
Предлагаем освоить новые упражнения:
- Метод зачеркивания букв в созвучных словах и визуализация. Необходимо выучить слово stick (палка). Нарисуйте картинку-ассоциацию: вы разбиваете палкой стекло. Подпишите на русском: «Я разбиваю стекло». В слове стекло замените Е на И, зачеркните ЛО. У вас получится: «Я разбиваю СТИК». Прямая ассоциация мозга - разбить можно ПАЛКОЙ.
- Метод составления предложений с применением значения иностранного слова на русском и русского слова, созвучного с иностранным. Слово conduct - проводить. Примерное предложение: «Он провел интернет, чтобы залезть во ВКонтакте» (созвучное – conduct).
- Ассоциируйте слово со звуком. Bow - лук для стрельбы. Представьте, что вы стоите с оружием и медленно отпускаете тетиву. При этом слышите звонкий звук «Бау». Сосредоточьтесь на его звучании, металлической вибрации.
- Ассоциируйте слово с ощущением . Eye - глаз. Вы лежите под деревом, вдруг в глаз что-то попало. Вы вскрикнули «Ай!». Запомните ощущение инородного предмета в глазу; чувство, когда вырывается неожиданное междометие «Ай!».
Мнемотехнические приемы удаются людям, принимающим Глицин D3. Активное вещество стимулирует мозговую деятельность, благодаря чему уровень запоминаемой информации повышается.
Видео с приемами мнемотехники для английского
Видео иллюстрирует технику созвучия, о которой мы писали выше, и позволяет запомнить 10–15 новых слов за одно занятие.
Серия из 4 уроков мнемотехники: видео демонстрирует мнемонические приемы для простейших слов.
Приложения на телефон для изучения английских слов
Обучение английскому языку необязательно прерывать на целый день: скачайте одно или несколько приложений, чтобы иметь крутые обучалки в кармане.
- «Выучи 90% слов за неделю!» . В английском языке 300 слов, составляющих базу ежедневного общения. Именно их предлагают выучить разработчики. Обучение устроено в виде теста: вам дают слово на английском и предлагают варианты перевода. Вы выбираете верный ответ. В течение занятия каждое слово показывают 5 раз: если ответы правильные, слово считают выученным и заменяют на новое.
- «Учим английский с картинками». В приложении 3000 проиллюстрированных слов. Заниматься можно в режиме офлайн: сосредоточьтесь на фото, свяжите его со словом для запоминания. Пользователи, скачавшие приложение, утверждают, что это лучший вариант для изучения английского.
- «Bravolol». Темы разделены на специальные блоки. Для запоминания предлагается поиграть с интонацией - это один из мнемонических приемов. Вы вспоминаете слово на основании посыла, с которым оно было произнесено. Диктор предлагает проговаривать предложения вежливо, зло или радостно.
Если вы знаете интересные мнемонические приемы для изучения английского языка, делитесь в комментариях! Хорошего дня!
Одним из сложнейших вопросов экономической политики является управление инфляцией. Способы управления ею неоднозначны, противоречивы по своим последствиям. Диапазон параметров для проведения такой политики может быть весьма узок. С одной стороны, требуется сдерживать раскручивание инфляционной спирали, а с другой стороны, необходимо поддерживать стимулы производства, создавать условия для насыщения рынка товарами.
Основными формами стабилизации денежного обращения, зависящими от состояния инфляционных процессов, являются денежные реформы и антиинфляционная политика.
Денежные реформы проводились в условиях металлического денежного обращения. Со второй половины ХХ в. стабилизация денежного обращения как один из важнейших способов восстановления экономики проводится при помощи следующих методов: нуллификации, реставрации (ревальвации), девальвации и деноминации.
Нуллификация означает объявление об аннулировании сильно обесцененной единицы и введение новой валюты.
Деноминация – метод «зачеркивания нулей», т.е. укрупнение масштаба цен.
Антиинфляционная политика – это комплекс мер по государственному регулированию экономики, направленных на борьбу с инфляцией. В ответ на взаимодействие факторов инфляции спроса и инфляции издержек производства оформились две основные линии антиинфляционной политики – дефляционная политика (или регулирование спроса) и политика доходов (или регулирование издержек). Кроме того появилось новое направление – конкурентное стимулирование производства.
Дефляционная политика – это методы ограничения денежного спроса через денежно-кредитный и налоговый механизмы путем:
- снижения государственных расходов,
- повышения процентной ставки за кредит,
- усиления налогового пресса,
- ограничения денежной массы и т.д.
Особенность действия дефляционной политики заключается в том, что она вызывает замедление экономического роста и даже кризисные явления.
Политика доходов предполагает параллельный контроль над ценами и заработной платой путем полного их замораживания или установления пределов их роста. По социальным мотивам этот вид антиинфляционной политики применяется редко.
Конкурентное стимулирование производства включает меры как по прямому стимулированию предпринимательства путем значительного снижения налогов на корпорации, так и по косвенному стимулированию сбережений населения путем снижения подоходного налога.
Модель антиинфляционной политики в ее российском варианте состоит из двух крупных блоков.
Первый блок включает экономические факторы:
- создание эффективной инвестиционной программы;
- формирование стабильной макроэкономической структуры рынка с целью выравнивания диспропорций производства;
- привлечение дополнительных капиталов в производственную сферу.
Второй блок формирует финансовую направленность:
- покрытие бюджетного дефицита с помощью размещения государственных ценных бумаг и отказа от кредитов центрального банка;
- установление регулирующего значения функций налогов (а не только фискальной) в сфере производства;
- резкое снижение эмиссии денег (сверх потребности товарооборота) как наиболее важного денежного инфляционного фактора (хотя с 1994г. правительство не осуществляет эмиссию денег для покрытия дефицита бюджета);
- активная политика доходов, предполагающая согласование и увязку темпа роста зарплаты, доходов и цен под наблюдением и при посредничестве государства (использование опыта Запада о заключении соглашений между правительством, профсоюзами и предприятиями по этим вопросам).
Достижение финансовой стабильности, сокращения дефицита федерального бюджета, обеспечения его финансирования возможно за счет ряда неинфляционных источников:
- повышения собираемости налоговых платежей в бюджет (в том числе за счет существенного сокращения неэффективных налоговых и иных льгот);
- сокращения перечня федеральных целевых программ, что позволит сконцентрировать средства бюджета на наиболее эффективных и социально значимых проектах;
- финансирования регионов из региональных бюджетных расходов, имеющих соответствующую доходную базу.
Выполнение этих условий антиинфляционной стратегии способствует достижению таких основных социальных и экономических целей, как:
- ограждение социальных интересов народа, в первую очередь его малообеспеченных слоев;
- сохранение экономического и научно-технического потенциала страны;
- создание стимулов для производственной в первую очередь инвестиционной деятельности;
- формирование рыночной конкурентной среды.
Основная задача экономических реформ заключается в сложной структурной перестройке российской экономики и прежде всего в активизации инвестиционной политики.