Конспект урока
в 8 классе
по теме
«Освобождение от иррациональности в знаменателе»
Провела: учитель математики
Темирова Виктория Георгиевна
Тема: Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Цели:
Повторить преобразование выражений, содержащих квадратный корень, с использованием формул сокращенного умножения.
Выработать алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.
Развивать логическое мышление, умения применять полученные знания по теме при выполнении самостоятельной работы, развивать терминологическую речь и коммуникативные навыки.
Воспитывать: прививать культуру общения - умение слушать, ясно и четко излагать свои мысли, критически оценивать приводимые аргументы, уважительно относиться к мнению собеседника; воспитывать наблюдательность, внимание, инициативу, доброжелательность.
Оборудование: проектор, экран, карта знаний, карточки для устного счета, девиз на плакате
Ход урока.
Организация урока. (Здравствуйте, ребята. Меня зовут … Я учитель математики Тюльпанской ООШ и сегодня урок в вашем классе проведу я)
Если что- нибудь у вас не получится, Давайте вместе будем стараться,
не нужно переживать и мучиться чтобы с работой на уроке справиться.
Психологический тренинг . А чтобы все получилось, мы сейчас проведем короткий тренинг
-Потрите мочки ушей, чтобы хорошо слышать
-Потрите виски, чтобы хорошо думать
-Потрите лоб, чтобы открылся третий глаз
-Потрите переносицу, чтобы хорошо видеть
-Потрите ладоши, чтобы активизировать все центры вашего мозга.
А теперь, запишите число, классная работа.
На уроке я вам предлагаю поработать под девизом: « Книга – книгой, а мозгами двигай».
Устный счет
1.Вынести множитель из-под корня:
2. Внести множитель под корень:
Сообщение темы и цели урока
Как вы думаете, над какой темой мы сегодня будем работать?
Сегодня на уроке мы будем изучать тему: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби».
Заполните карты знаний, лежащие у вас на столе только две первые колонки. Третью колонку заполните в течение урока, когда поймете, что вы узнали новое или научились чему- то новому. (2 мин)
Изучение новой темы
Назовите основное свойство дроби? Учитель вывешивает плакат на доске:
.
Ставиться проблема
:
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Какое выражение проще вычислить: 
или 
? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)
Как освободиться от иррациональности в знаменателе? (обсуждение)
Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:
а)
; в)
; г)
. Для этого обратимся к заданию 4.
На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения (плакат).
а)=
; б)=
; в)=
Сделаем вывод.
Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе: Сделайте вывод
Выражения
и
называют сопряженными выражениями.
Закрепление изученной темы.
Устная работа. (демонстрационные карточки)
Назовите множитель, который освободит знаменатель от иррациональности:
3.ФИЗМИНУТКА (здоровье сберегающие технологии для глаз – слайд.)
По разноуровневым карточкам
1-в: 
2-в: 
Рефлексия.
Продолжите фразу:
Самым сложным на уроке было…
Какую проблему ставили на уроке?
Удалось ли нам её решить?
Домашнее задание.
№ №374(2 стр), № 352.
Спасибо за урок!
Приложение.
а)=;
в)=
г)=
Продолжите фразу:
Самым сложным на уроке было…
Самым интересным при работе для меня было…
Самым неожиданным для меня было…
Токарев Кирилл
Работа помогает научиться извлекать квадратный корень из любого числа без применения калькулятора и таблицы квадратов и освобождать знаменатель дроби от иррациональности.
Освобождение от иррациональности знаменателя дроби
Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение.
Извлечение квадратного корня с приближением до заданного разряда.
Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа 17358122, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться описанным в работе правилом.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Радикал. Освобождение от иррациональности знаменателя дроби. Извлечение квадратного корня с заданной степенью точности. Ученика 9Б класса МОУ СОШ №7 г. Сальска Токарева Кирилла
ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ВОПРОС: Можно ли извлечь квадратный корень из любого числа с заданной степенью точности, не имея калькулятора и таблицы квадратов?
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ: Рассмотреть случаи решения выражений с радикалами, не изучаемые в школьном курсе математики, но необходимые на ЕГЭ.
ИСТОРИЯ КОРНЯ Знак корня происходит из строчной латинской буквы r (начальной в латинском слове radix – корень), сросшейся с надстрочной чертой. В старину надчёркивание выражения использовалось вместо нынешнего заключения в скобки, так что есть всего лишь видоизменённый древний способ записи чего-то вроде. Впервые такое обозначение использовал немецкий математик Томас Рудольф в 1525 году.
ОСВОБОЖДЕНИЕ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ДРОБИ Суть метода состоит в умножении и делении дроби на такое выражение, которое позволит исключить иррациональность (квадратные и кубические корни) из знаменателя и сделает его проще. После этого дроби проще привести к общему знаменателю и окончательно упростить исходное выражение. АЛГОРИТМ ОСВОБОЖДЕНИЯ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ В ЗНАМЕНАТЕЛЕ ДРОБИ: 1. Разложить знаменатель дроби на множители. 2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель, то числитель и знаменатель следует умножить на. Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на. Числа и называют сопряжёнными. 3. Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь.
а) б) в) г) = - Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. 1) -1 100 96 400 281 11900 11296 24 4 281 1 2824 4 16 135 81 5481 4956 52522 49956 81 1 826 6 8326 6 2) Древневавилонский способ: Пример: Найти. Для решения задачи данное число разлагается на сумму двух слагаемых: 1700 = 1600 + 100 = 40 2 + 100, первое из которых является полным квадратом. Затем применяем формулу. Алгебраический способ:
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ С ПРИБЛИЖЕНИЕМ ДО ЗАДАННОГО РАЗРЯДА. , 4 16 8 . 1 1 1 3 5 1 8 1 5 4 8 1 8 2 + 66 4 9 5 6 6 5 2 5 2 2 + 8 3 2 66 4 9 9 5 6 6 + 8 3 3 2 33 2 5 6 6 0 0 ,3
Список литературы 1. Сборник задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М.И.Сканави. В. К.Егерев, Б.А.Кордемский, В. В. Зайцев, “ ОНИКС 21 век ” , 2003г. 2. Алгебра и элементарные функции. Р. А. Калнин, “ Наука ” , 1973г. 3. Математика. Справочные материалы. В. А. Гусев, А. Г. Мордкович, издательство “ Просвещение ” , 1990г. 4. Школьникам о математике и математиках. Составитель М.М.Лиман, Просвещение, 1981г.
При преобразовании дробного алгебраического выражения, в знаменателе которого записано иррациональное выражение, обычно стремятся представить дробь так, чтобы ее знаменатель был рациональным. Если A,B,C,D,... - некоторые алгебраические выражения, то можно указать правила, с помощью которых можно освободиться от знаков радикала в знаменателе выражений вида
Во всех этих случаях освобождение от иррациональности производится умножением числителя и знаменателя дроби на множитель, выбранный так, чтобы его произведение на знаменатель дроби было рациональным.
1) Для освобождения от иррациональности в знаменателе дроби вида . В умножаем числитель и знаменатель на
Пример 1. .
2) В случае дробей вида . Умножаем числитель и знаменатель на иррациональный множитель
соответственно, т. е. на сопряженное иррациональное выражение.
Смысл последнего действия состоит в том, что в знаменателе произведение суммы на разность преобразуется в разность квадратов, которая уже будет рациональным выражением.
Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражения:
Решение, а) Умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение . Получаем (при условии, что )
3) В случае выражений типа
знаменатель рассматривается как сумма (разность) и умножается на неполный квадрат разности (суммы), чтобы получить сумму (разность) кубов ((20.11), (20.12)). На тот же множитель умножается и числитель.
Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе выражений:
Решение, а) Рассматривая знаменатель данной дроби как сумму чисел и 1, умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат разности этих чисел:
или окончательно:
В некоторых случаях требуется выполнить преобразование противоположного характера: освободить дробь от иррациональности в числителе. Оно проводится совершенно аналогично.
Пример 4. Освободиться от иррациональности в числителе дроби .
По вашим просьбам!
5. Решите неравенство:
6 . Упростите выражение:
17. f(x)=6x 2 +8x+5, F(-1)=3. Найдите F(-2).
Найдем С, зная, что F(-1) = 3.
3 = 2 ∙ (-1) 3 + 4 ∙ (-1) 2 + 5 ∙ (-1) + C;
3 = -2 + 4 – 5 + C;
Таким образом первообразная F(x) = 2x 3 + 4x 2 + 5x + 6. Найдем F(-2).
F(-2) = 2∙(-2) 3 +4∙(-2) 2 +5∙(-2)+6 = -16+16-10+6=-4.
20. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе
Решение основано на основном свойстве дроби, позволяющим умножать числитель и знаменатель дроби на одно и то же, не равное нулю число. Чтобы избавиться от знаков радикала в знаменателе дроби, обычно используют ФСУ (формулы сокращенного умножения). Ведь если разность двух радикалов умножить на их сумму, то получится разность квадратов корней, т.е. получится выражение без знаков радикалов.
21. Упростить выражение:
Решим этот пример двумя способами. 1) Представим подкоренное выражение второго множителя в виде квадрата суммы двух выражений, т.е. в виде(a + b) 2 . Это позволит нам извлечь арифметический квадратный корень.
2) Возведем первый множитель в квадрат и внесем его под знак арифметического квадратного корня второго множителя.
Решайте удобным для себя способом!
22. Найдите (х 1 ∙у 1 +х 2 ∙у 2), где (х n ; y n) – решения системы уравнений:
Так как арифметический квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа, то допустимыми значениями переменной у служат все числа, удовлетворяющие неравенству y≥0 . Так как произведение в первом уравнении системы равно отрицательному числу, то должно выполняться условие: x<0 . Выразим х из первого уравнения и подставим его значение во второе уравнение. Решим получившееся уравнение относительно у , а затем найдем значения х , соответствующие полученным ранее значениям у .
23. Решить неравенство: 7sin 2 x+cos 2 x>5sinx.
Так как по основному тригонометрическому тождеству: sin 2 x+cos 2 x=1, то представив данное неравенство в виде 6sin 2 x+ sin 2 x +cos 2 x>5sinx и применив основное тригонометрическое тождество, получаем: 6sin 2 x+ 1>5sinx. Решаем неравенство:
6sin 2 x-5sinx+1 >0. Сделаем замену: sinx=y и получим квадратичное неравенство:
6y 2 -5y+1>0. Решим это неравенство методом интервалов, разложив левую часть на множители. Для этого найдем корни полного квадратного уравнения:
6y 2 -5y+1=0. Дискриминант D=b 2 -4ac=5 2 -4∙6∙1=25-24=1. Тогда получаем у 1 и у 2:
24. В основании прямой призмы лежит правильный треугольник, площадь которого равна Вычислите площадь боковой поверхности призмы, если ее объем равен 300 см 3 .
Пусть нам дана правильная треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 , в основании которой лежит правильный Δ АВС, его площадь нам известна. Применив формулу площади равностороннего треугольника, мы найдем сторону нашего треугольника АВС. Так как объем прямой призмы, вычисляется по формуле V=S осн. ∙ H, и нам также известен, то можно найти Н — высоту призмы. Боковое ребро призмы будет равно высоте призмы: AA 1 =H. Зная сторону основания и длину бокового ребра призмы можно найти площадь ее боковой поверхности по формуле: S бок. =P осн. ∙ H.
25. На школьной викторине было предложено 20 вопросов. За каждый правильный ответ участнику начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал один из участников, если он отвечал на все вопросы и набрал 86 очков?
Пусть участник дал х правильных ответов. Тогда неправильных у него (20-х) ответов. Зная, что за каждый правильный ответ ему начисляли 12 очков, а за каждый неправильный списывали 10 очков и при этом он набрал 86 очков, составим уравнение:
12х-10·(20-х)=86;
12х-200+10х=86;
22х=286 ⇒ х=286:22 ⇒ х=13. Участник дал 13 правильных ответов.
Я желаю вам дать 25 правильных ответов на тест по математике на ЕНТ!
24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро 6. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
Пусть шар с центром в точке О 1 и радиусом МО 1 описан около правильной пирамиды MABCD с высотой МО=3 и боковым ребром МА=6. Требуется найти радиус шара МО 1 . Рассмотрим ΔМАМ 1 , в котором сторона ММ 1 — диаметр шара. Тогда ∠МАМ 1 =90°. Найдем гипотенузу ММ 1 , если известны катет МА и проекция этого катета МО на гипотенузу. Помните? Высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе есть средняя пропорциональная величина между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть средняя пропорциональная величина между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Нам в этой задаче пригодится только подчеркнутая часть правила.
Записываем равенство: МА 2 =МО∙ММ 1 . Подставляем свои данные: 6 2 =3∙ ММ 1 . Отсюда ММ 1 =36:3=12. Мы нашли диаметр шара, следовательно, радиус МО 1 =6.
25. Петя старше Коли, который старше Миши, Маша старше Коли, а Даша младше Пети, но старше Маши. Кто третий по возрасту?
Будем считать: старше — это больше. Петя старше Коли, который старше Миши запишем так: Петя>Коля>Миша. Даша младше Пети, но старше Маши запишем так: Маша<Даша<Петя, что будет равнозначно записи: Петя>Даша>Маша. Так как Маша старше Коли, то получаем: Петя>Даша>Маша>Коля. И окончательно: Петя>Даша>Маша>Коля>Миша. Таким образом, третий по возрасту — Маша.
Желаю успешной подготовки к ЕНТ!
Урок №1 Тема урока: «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби»
Цели:
Образовательная:
Развивающая:
Воспитательная: воспитание последовательности в своих действиях.
Тип урока: изучение нового
Стандарт урока:
уметь находить способ избавления от иррациональности
понимать смысл «сопряженное выражение»
уметь избавляться от иррациональности в знаменателе.
Оборудование: карточки к самостоятельной работе.
Ход урока
Немного юмора:Извлекать корни умеешь? – спрашивает учитель
Да, конечно. Нужно потянуть за стебель растения посильнее, и корень его извлечётся из почвы.
Нет, я имел в виду другой корень, например, из девяти.
Это будет «девя», так как «ть»-суффикс.
Я имею в виду корень квадратный.
Квадратных корней не бывает. Они бывают мочковатые и стержневые.
Арифметический квадратный корень из девяти.
Так бы и сказали! Квадратный корень из девяти =3!
А вы корни извлекать умеете?
2. «Повторение – мать учения».
(8 мин)
2.Проверка дом/з № 168 1)4; 2)10; 3)4;4) 8
3.Разминка. Выполни действия (Слайд 1). Проверка по кругу против часовой стрелки.
1. Подбери неизвестный множитель (Слайд2)
Деление на группы: по выбранным фигурам.
Проверяют в парах сменного состава.
Работают индивидуально и проверяют, оценивая в баллах.
(Приложение 1)
3. «Книга – книгой, а мозгами двигай» (5 мин)
(Слайд 3) Два друга решали уравнение 
и получили разные ответы. Один из них подобрал х = 
, сделал проверку. Второй находил неизвестный множитель делением произведения на 
и получил х = 
. Кто из них прав? Может ли линейное уравнение иметь два корня? Самым удобным для вычислений является выражение, не содержащее иррациональности в знаменателе.
Тема урока (Слайд 4): Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Цели (Слайд 5): ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби. Развитие умения освобождать знаменатель от иррациональности;
Решают и проверяют в парах сменного состава.
Обсуждают ситуацию и приходят к выводу.
Записывают тему
Формулируют цели : ознакомиться со способами избавления от иррациональности в знаменатели дроби.
развитие умения определять способ освобождения от иррациональности;
4. Работа над новым материалом.
(10 мин)
Как избавиться от иррациональности в знаменателе? Хотите узнать?
Работа в группах над новым материалом
Выступление групп
Закрепление (Слайд 6)
Работают с опорным конспектом. (Приложение 2)
Решают примеры.
(Приложение 3)
Обмениваются информацией.
5. Зарядка (3 мин)
Делают зарядку
6. Самостоятельная работа
(10 мин)
По разноуровневым карточкам
1-в: 
2-в: 
3-в: 
Выполняют индивидуально, проверяют меняясь тетрадями с другой группой.
Баллы заносят в оценочную карту группы.
(Приложение 1)
(2 мин)
Мартышка – апельсинов продавщица,(Слайд 7)
Приехав как – то раз к себе на дачу,
Нашла там с радикалами задачу.
Разбрасывать их стала все подряд.
Мы просим вас, девчонки и мальчишки,
Решить задачу на хвосте мартышки.
Как вы думаете мы закончили изучать эту тему? Продолжим на следующем уроке.
Рассуждают о том, что это им предстоит узнать на следующем уроке.
8. Задание на дом: (2 мин)
П.19(Слайд 7)
1 уровень: №170 (1-6)
2 уровень: №170 (1-6 и 9,12)
Творческое задание: Мартышкина задача.
Записывают
9.Итог урока. Рефлексия
(3 мин)
Две звезды и пожелание на стикерах прикрепляются на выбранный смайлик (Слайд 7)
Баллы переводят в оценку и сдают учителю оценочную карту группы.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Оценочная карта группы.
0-8 баллов
Подбери множитель
0-8 баллов
Работа в группе над новым материалом
0-5 баллов
Сам. работа
0-5 баллов
Активность на уроке
0-5 баллов
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Опорный конспект
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то говорят, что в знаменателе содержится иррациональность. Преобразование выражения к такому виду, чтобы в знаменателе дроби не оказалось знаков квадратных корней, называют освобождением от иррациональности в знаменателе