С линейными задачами, использующими теорию матриц, связан аппарат так называемых определителей, очень ценный по широте приложений к теоретическим вопросам.

1. Наводящие соображения.

Рассмотрим в общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Допустим, что система имеет решение и пара х, у составляет решение, так что оба уравнения уже обратились в верные равенства. Умножим обе части первого равенства на второго на и вычтем. Получим

Теперь первое равенство умножим на второе на , и сложим. Получим

Предположим, что . Тогда

Таким образом, предположив, что решение существует, мы смогли его найти. Теперь перед нами альтернатива - либо решение существует и тогда оно дается формулами (2), либо решение не существует. Для того чтобы отделаться от второй возможности, нужно только установить, что формулы (2) действительно дают решение системы, для чего следует подставить х и у из (2) в систему (1). Сделаем это:

Мы видим, что оба уравнения превратились в верные равенства.

Если а то наши рассуждения не приводят к законченному результату, и мы оставим этот случай пока в стороне.

В формулах (2) знаменатель один и тот же. Числители же очень похожи по форме записи на знаменатель.

Для выражения существует специальное название

определителя матрицы и специальное обозначение:

С помощью обозначений для определителей формулы (2) за писываются в виде

Применяя, например, эти формулы к решению системы

Разумеется, понятие определителя было бы не нужным, если бы шла речь только о системах двух уравнений с двумя неизвестными. Результат может быть обобщен на линейные системы уравнений с неизвестными.

Рассмотрим еще случай Пусть дана система

Исключим сразу неизвестные у и . С этой целью умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим. Получим

Ясно, что коэффициенты при у и z равны нулю.

Коэффициент при играет здесь такую же роль, как для систем второго порядка. Он называется определителем матрицы и обозначается:

В этих обозначениях, если определитель не равен нулю,

Аналогично,

Наш вывод имеет смысл при предположении, что решение существует. Однако, если подставить найденные выражения для х, у, z в исходную систему, можно убедиться в том, что все три уравнения обратятся в верные равенства.

Итак, мы показали, что формулы для решения в общем виде линейных систем уравнений при и имеют сходную структуру и основную роль в них играют определители второго порядка

и третьего порядка

Оба эти выражения представляют собой алгебраические суммы произведений элементов матриц, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя. Произведения снабжаются знаками + и - по правилам

На этих рисунках соединены линиями элементы матрицы, составляющие произведения, входящие в определитель со знаками

Обратимся теперь к обобщению определителя для квадратных матриц любого порядка , исходя из формы этих выражений для

Здесь удобно обозначать элементы матрицы одной буквой, приписывая ей два индекса - номер строки и номер столбца. Дадим формальное определение определителя для квадратной матрицы порядка следующим образом:

Определителем квадратной матрицы порядка (или определителем порядка ) называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки, по одному из каждого столбца и снабженных знаками «плюс» и «минус» по некоторому определенному правилу.

К вопросу о том, что это за правило, мы обратимся в ближайшее время, а пока попытаемся записать символически сформулированное выше определение. В каждом слагаемом определителя мы будем записывать сомножители в порядке следования строк. Номера столбцов будут составлять в совокупности все числа от 1 до , в различных порядках, причем во всех возможных порядках, так как определитель, согласно данному определению, составлен из всех произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. В буквенных обозначениях:

Здесь индексы пробегают все возможные перестановки чисел . Все перестановки должны быть разбиты на два класса так, чтобы одному классу соответствовали слагаемые со знаком «плюс», другому - со знаком «минус».

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1996 год.

1. Матрицы.

1.1 Понятие матрицы.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком .

1.2 Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = ( С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) ( 1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы ( 1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

переместительным свойством: A + B = B + A

сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). ( 1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы ( 1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

распределительным свойством относительно суммы матриц:

( A + B) = A + B

сочетательным свойством относительно числового множителя:

( ) A = ( A)

распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) ( 1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула ( 1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

=

Из формулы ( 1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

сочетательное свойство: ( AB) C = A (BC);

распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B = , то AB = , а BA =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Среди всех диагональных матриц с совпадающими элементами на главной диагонали особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается, когда все элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей n- E . Вторая матрица получается при всех элементах равных нулю и называется нулевой матрицей n- ого порядка и обозначается символом O . Допустим, что существует произвольная матрица A , тогда

AE = EA = A , AO = OA = O .

Первая из формул характеризует особую роль единичной матрицы Е , аналогичную то роли, которую играет число 1 при перемножении вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О , то ее выявляет не только вторая из формул, но и элементарно проверяемое равенство: A + O = O + A = A . Понятие нулевой матрицы можно вводить и не для квадратных матриц.

2. Определители.

2.1 Понятие определителя.

Прежде всего необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя , или детерминанта .

2.2 Вычисление определителей.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах , Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad-bc , обозначаемое так: . Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица . Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a11a23a32 – a12a21a33 – a13a22a31. . Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31 , a13a21a32 .

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32 , a12a21a33 . Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n- ого порядка, где n 2 . Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n- ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i -й строки и j- ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij ). Минор элемента Aij будем обозначать символом . В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний – номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом .

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i ( i =1, 2 …, n) , для определителя n- ого порядка справедлива формула

= det A =

называемая i- й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij .

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j ( j =1, 2 …, n) , для определителя n -го порядка справедлива формула

= det A =

называемая разложением этого определителя по j- ому столбцу .

2.3 Основные свойства определителей.

У определителей также есть свойства, с помощью которых задача их вычисления становится более легкой. Итак, ниже устанавливается ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель n -го порядка.

1 . Свойство равноправности строк и столбцов . Транспонированием любой матрицы или определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования матрицы A получается матрица, называется матрица, называемая транспонированной по отношению к матрице A и обозначается символом A .

Первое свойство определителя формулируется так: при транспонировании величина определителя сохраняется, т. е. = .

2 . Свойство антисимметрии при перестановке двух строк (или двух столбцов) . При перестановке местами двух строк (или двух столбцов) определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. Для определителя второго порядка это свойство проверяется элементарно (из формулы вычисления определителя второго порядка сразу вытекает, что определители отличаются лишь знаком).

3 . Линейное свойство определителя. Будем говорить, что некоторая строка ( a) является линейной комбинацией двух других строк ( b и c ) с коэффициентами и . Линейное свойство можно сформулировать так: если в определителе n -го порядка некоторая i -я строка является линейной комбинацией двух строк с коэффициентами и , то = + , где

– определитель, у которого i -я строка равна одной из двух строк линейной комбинации, а все остальные строки те же, что и у , а – определитель, у которого i- я строка равна второй из двух строк, а все остальные строки те же, что и у .

Эти три свойства являются основными свойствами определителя, вскрывающими его природу. Следующие пять свойств являются логическими следствиями трех основных свойств.

Следствие 1. Определитель с двумя одинаковыми строками (или столбцами) равен нулю.

Следствие 2. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число a равносильно умножению определителя на это число a . Иными словами, общий множитель всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя можно вынести за знак этого определителя.

Следствие 3. Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Следствие 4. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Следствие 5. Если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умножение на произвольный множитель , то величина определителя не изменяется. Следствие 5, как и линейное свойство, допускает более общую формулировку, которую я приведу для строк: если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией нескольких других строк этого определителя (с какими угодно коэффициентами), то величена определителя не изменится. Следствие 5 широко применяется при конкретном вычислении определителей.

3. Системы линейных уравнений.

3.1 Основные определения.

…….

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений.

…….

3.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Известно, что используя матрицы мы можем решать различные системы уравнений, при чем эти системы могут быть какой угодно величены и иметь сколько угодно переменных. С помощью нескольких выводов и формул решение огромных систем уравнений становится довольно быстрым и более легким.

В частности, я опишу методы Крамера и Гаусса. Наилегчайшим способом является метод Крамера (для меня), или как его еще называют – формула Крамера. Итак, допустим, что мы имеем какую-либо систему уравнений . Основным определителем как вы уже заметили является матрица составленная из коэффициентов стоящих при переменных. Они также идут в порядке столбцов, т. е. в первом столбце стоят коэффициенты, которые находятся при x , во втором столбце при y , и так далее. Это очень важно, ибо в следующих действиях мы будем заменять каждый столбец коэффициентов при переменной на столбец ответов уравнений. Итак, как я уже говорил, мы заменяем столбец при первой переменной на столбец ответов, затем при второй, конечно это все зависит от того, сколько переменных нам нужно найти.

1 = , 2 = , 3 = .

Затем нужно найти определители определителем системы .

3.4 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

…….

4. Обратная матрица.

4.1 Понятие обратной матрицы.

4.2 Вычисление обратной матрицы.

Список литературы.

В. А. Ильин, Э. Г. Позняк “Линейная Алгебра”

2. Г. Д. Ким, Е. В. Шикин “Элементарные преобразования в линейной алгебре”

Прежде всего, необходимо запомнить, что определители существуют только для матриц квадратного вида, ибо для матриц другого типа не существует определителей. В теории систем линейных уравнений и в некоторых других вопросах удобно использовать понятие определителя , или детерминанта .

Вычисление определителей

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы по два в строках и по два столбцах, Определителем или детерминантом , составленным из чисел этой таблицы, называется число ad -bc , обозначаемое так:.Такой определитель называется определителем второго порядка , поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами ; при этом говорят, что элементы a и d составляют главную диагональ определителя, а элементы b и c его побочную диагональ . Видно, что определитель равен разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно: Допустим, что у нас есть квадратная матрица. Определителем следующей матрицы является такое выражение: a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Как вы видите он просчитывается довольно легко, если запомнить определенную последовательность. С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники a12a23a31, a13a21a32.

С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. a11a23a32, a12a21a33. Таким образом находятся определители любого порядка. Но бывают случаи, когда и этот метод становится довольно сложным, например, когда элементов в матрице очень много, и для того, чтобы сосчитать определитель нужно затратить уйму времени и внимания.

Существует более легкий способ вычисления определителя n-ого порядка, где n2. Договоримся называть минором любого элемента Aij матрицы n-ого порядка определитель, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы в результате вычеркивания i-й строки и j-ого столбца (той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij). Минор элемента Aij будем обозначать символом. В этом обозначении верхний индекс обозначает номер строки, нижний - номер столбца, ф черта над M означает, что указанные строка и столбец вычеркиваются. Определителем порядка n , соответствующим матрице, назовем число, равное и обозначаемое символом.

Теорема 1.1 Каков бы ни был номер строки i (i =1, 2…, n), для определителя n-ого порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по i-й строке . Подчеркнем, что в этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент Aij.

Теорема 1.2 Каков бы ни был номер столбца j (j =1, 2…, n), для определителя n-го порядка справедлива формула

называемая разложением этого определителя по j-ому столбцу .

Средняя школа № 45.

Город Москва.

Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений

Курсовая работа (черновик).

Введение в теорию матриц и определителей .

1. Матрицы.........................................................................................................................................................

1.1 Понятие матрицы....................................................................................................................................

1.2 Оновные операции над матрицами................................................................................................

2. Определители...........................................................................................................................................

2.1 Понятие определителя..........................................................................................................................

2.2 Вычисление определителей................................................................................................................

2.3 Основные свойства определителей................................................................................................

3. Системы линейных уравнений................................................................................................

3.1 Основные определения.........................................................................................................................

3.2 Условие совместности систем линейных уравнений...........................................................

3.3 Решение ситем линейных уравнений метедом Крамера.....................................................

3.4 Решение ситем линейных уравнений метедом Гаусса........................................................

4. Обратная матрица.................................................................................................................................

4.1 Понятие обратной матрицы................................................................................................................

4.2 Вычесление обратной матрицы........................................................................................................

Список литературы..................................................................................................................................

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n , матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком .

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

Сложение матриц : Суммой двух матриц, например: A и B , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков m и n называется матрица С = (С ij )( i = 1, 2, …m; j = 1, 2, …n) тех же порядков m и n , элементы Cij которой равны.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2 )

Для обозначения суммы двух матриц используется запись C = A + B. Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

=

Из определения суммы матриц, а точнее из формулы (1.2 ) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: A + B = B + A

2) сочетательным свойством: (A + B) + C = A + (B + C)

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число :

Произведением матрицы на вещественное число называется матрица C = (Cij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n) , элементы которой равны

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3 )

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или C = A . Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3 ) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) распределительным свойством относительно суммы матриц:

(A + B) = A + B

2) сочетательным свойством относительно числового множителя:

() A = ( A)

3) распределительным свойством относительно суммы чисел:

( + ) A = A + A .

Замечание : Разностью двух матриц A и B одинаковых порядков естественно назвать такую матрицу C тех же порядков, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A . Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: C = A – B.

Перемножение матриц :

Произведением матрицы A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) , имеющей порядки соответственно равные m и n , на матрицу B = (Bij) (i = 1, 2, …, n;

j = 1, 2, …, p) , имеющую порядки соответственно равные n и p , называется матрица C = (С ij) (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, … , p) , имеющая порядки, соответственно равные m и p , и элементы Cij , определяемые формулой

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4 )

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись

C = AB . Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B : необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B . Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Формула (1.4 ) представляет собой правило составления элементов матрицы C ,

являющейся произведением матрицы A на матрицу B . Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент Cij , стоящий на пересечении i -й строки и j- го столбца матрицы C = AB , равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i -й строки матрицы A и j- го столбца матрицы B . В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

Из формулы (1.4 ) вытекают следующие свойства произведения матрицы A на матрицу B :

1) сочетательное свойство: (AB) C = A (BC);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC или A (B + C) = AB + AC.

Вопрос о перестановочном свойстве произведения матриц имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Элементарные примеры показывают, что произведений двух квадратных матриц одинакового порядка не обладает, вообще говоря, перестановочным свойством. В самом деле, если положить

A = , B =

Те же матрицы, для произведения которых справедливо перестанавочное свойство, принято называть коммутирующими.

Тема 1. Матрицы и определители матриц

Что узнаем:

Основные понятия линейной алгебры: матрица, определитель.

Чему научимся:

Производить операции над матрицами;

Вычислять определителями второго и третьего порядка.

Тема 1.1. Понятие матрицы. Действия над матрицами

∆ Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из строк и столбцов, заполненная некоторыми математическими объектами.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами, саму таблицу заключают в круглые скобки (реже в квадратные или другой формы).

Элементы а ij называют элементами матрицы . Первый индекс i – номер строки, второй j – номер столбца. Чаще элементами являются числа.

Запись «матрица А имеет размер m × n » означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов.

Если m = 1, а n > 1 , то матрица является матрицей – строкой . Если m > 1, а n = 1 , то матрица является матрицей – столбцом .

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов (m = n ), называется квадратной .

.

Элементы a 11 , a 22 ,…, a nn квадратной матрицы A (размера n × n ) образуют главную диагональ , элементы a 1 n , a 2 n -1 ,…, a n 1 - побочную диагональ .

В матрице
элементы 5; 7 образуют главную диагональ, элементы –5; 8 – побочную диагональ.

Матрицы A и B называются равными (A = B ), если они имеют одинаковый размер и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают, т.е. а ij = b ij .

Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичную матрицу обычно обозначают Е.

Матрицей, транспонированной к матрице А размера m × n , называется матрица А Т размера n × m , полученная из матрицы А, если ее строки записать в столбцы, а столбцы – в строки.

Арифметические действия над матрицами.

Чтобы найти сумму матриц A и B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Сложение матриц коммутативно, то есть А + В = В + А.

Чтобы найти разность матриц A и B одной размерности, необходимо найти разность элементов с одинаковыми индексами:

.

Чтобы умножить матрицу A на число k , необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Произведение матриц AB можно определить только для матриц A размера m × n и B размера n × p , т.е. число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В . При этом A · B = C , матрица C имеет размер m × p , и ее элемент c ij находится как скалярное произведение i -й строки матрицы A на j -й столбец матрицы B : ( i =1,2,…, m ; j =1,2,…, p ).

!! Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева) умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).

Произведение матриц не коммутативно, то есть А·В ≠ В·А . ▲

☺ Необходимо разобрать примеры для закрепления теоретического материала.

Пример 1. Определение размера матриц.

Пример 2. Определение элементов матрицы.

В матрице элемент а 11 = 2, а 12 = 5, а 13 = 3.

В матрице элемент а 21 = 2, а 13 = 0.

Пример 3. Выполнение транспонирования матриц.

,

Пример 4. Выполнение операций над матрицами.

Найти 2 A - B , если , .

Решение. .

Пример 5. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A – 3 × 2 , матрицы В – 2 × 2 . Поэтому произведение А·В найти можно. Получаем:

Произведение В·А найти нельзя.

Пример 6. Найти А 3 , если А =
.

Решение. А 2 = ·=
=
,

А 3 = ·=
=
.

Пример 6. Найти 2 А 2 + 3 А + 5 Е при
,
.

Решение. ,

,
,

,
.

Задания для выполнения

1. Заполнить таблицу.

Матрица	Размер	Вид матрицы	Элементы матрицы
				а 12	а 23	а 32	а 33

2. Выполнить операции над матрицами
и
:

3. Выполнить умножение матриц:

4. Транспонировать матрицы:

? 1. Что такое матрица?

2. Как отличить матрицу от других элементов линейной алгебры?

3. Как определить размер матрицы? Для чего это необходимо?

4. Что означает запись а ij ?

5. Дайте пояснение следующим понятиям: главная диагональ, побочная диагональ матрицы.

6. Какие операции можно выполнять над матрицами?

7. Объясните суть операции умножения матриц?

8. Любые ли матрицы можно умножить? Почему?

Тема 1.2. Определители второго и третьего порядка : м етоды их вычисления

∆ Если А – квадратная матрица n -го порядка, то с ней можно связать число, называемое определителем n-го порядка и обозначаемое через |А|. То есть определитель записывается как матрица, но вместо круглых скобок заключается в прямые.

!! Иногда определители называют на английский манер детерминантами, то есть = det A.

Определитель 1-го порядка (определитель матрицы А размера 1 × 1 ) - это сам элемент, который содержит матрица А, то есть .

Определитель 2-го порядка (определитель матрицы Aразмера 2 × 2 ) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель 3-го порядка (определитель матрицы Aразмера 3 × 3 ) – это число, которое можно найти по правилу «треугольников»:

Для вычисления определителей 3-го порядка можно использовать более простое правило – правило направлений (параллельных линий).

Правило направлений : с права от определителя дописывают два первых столбца, произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус".

!! Для вычисления определителей можно использовать их свойства, которые справедливы для определителей любого порядка.

Свойства определителей:

1° . Определитель матрицы А не меняется при транспонировании, т.е. |А| = |А Т |. Данное свойство характеризует равноправность строк и столбцов.

2° . При перестановке двух строк (двух столбцов) определитель сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

4° . Если какая-нибудь строка или столбец содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Следствие 4.1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 4.2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ему ряда, то определитель равен нулю. ▲

☺ Необходимо разобрать правила вычисления определителей.

Пример 1. Вычисление определителей второго порядка ,
.

Решение.